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补数算法专辑--科学速算与珠心算
2008-05-06 00:00 浏览次数:2136次 来源:魏如久原创作品

前 言(好奇怪)

要告诉下面,不要把算盘丢掉,猴子吃桃子是很危险的。 ——周恩来

最有价值的知识是关于方法的知识。 ——达尔文

补数算法,来源于基本的加减运算,它是按照数学原理和珠算的特点,在简化运算步骤实践过程中所形成的,如果广为应用,既可大大减少拨珠动作,又能显著提高工作效率。对于提高珠、心算的计算速度,结合“一口清”心算法,更有显著之效果。

算法钻研日日新,

乘除口诀渐消沉。

江山代有人才出,

补数算技冠古今。

——魏如久


第一章 预备概念


1、补数和齐数

若两数之和是10、100、1000、……10n的乘方数(n是正整数),这两个数就互为补数。

例如:4和6、88和12、455和545等就互为补数。

看补数的方法:某数是几位数,它的补数也是几位数。若补数的有效数字前面有空位,用“0”补齐。互为补数的各对应位,末位相加为10,其余各位相加为9,两数之和,叫做它们的齐数。

某数与其补数、齐数的关系如下:

某数+补数=齐数

齐数-补数=某数

齐数-某数=补数

如:齐数=某数+补数 补数半数

10 2 8 4

100 88 12 06

1000 998 002 001


2、强数和填数

位数相同,比某数的首位数字大1,后面带若干个零的数,叫某数的强数,例如:317、369、383的强数是400。某数的强数与该数之差,叫做该数的填数,例如:389的填数是11等等。计算填数方法:首位不填,中间相加成9,末位相加成10。

某数与其强、填数的关系如下:

某数+填数=强数

强数-某数=填数

强数-填数=某数

补、填数应用于珠算四则运算均较为简捷,特别是乘除法。下面分章节叙述。所以应养成心算凑整方法,求一数的补(填)数,就不必另行拨珠运算了。


第二章 加减法


第一节 无诀加减法

在实际工作中,加减法应用最广泛,约占所有计算量的80%左右。同时,加减法又是乘除运算的基础,不掌握过硬的加减法,乘除运算就不可能达到既准又快的水平。

加法的算式是:被加数+加数=和。被加数和加数可以交换位置,其和不变。

减法的算式是:被减数-减数=差。被减数和减数不可交换位置。

加法和减法互为逆运算。

补数加减法的理论依据是:“加原数=进1减补数”,“减原数=退1加补数”。其实质是将原数变成“10”,进行加减,用补数调整。

一、加法

珠算加法的特点是“补五进十”。上珠一颗作5,下珠一颗作1,下珠满5颗用上珠一颗代替。因此,在直接加减法的同时,有补五加法,算盘相邻两档,本档满10要向前档进1,因此,珠算是十进制加法。

(一)一位数加法

一位数加(减)法是最基本的运算,因为,计算多位数加(减)时,都要分解为一位数的加(减),所以,只要能熟练地掌握一位数的加(减),就能计算多位数的加(减)。珠算一位数加法,分为外珠够加和外珠不够加两类:

1、外珠够加类

如:3+1,2+3,4+5,2+6。先分别在算盘上拨3、2、4、2靠梁,再分别把加数1、3、5、6在同档上拨入,得数分别为4、5、9、8。

它们相加有一个共同的特点是:外珠(靠上下两边的珠)都比加数大,这叫同档相加看外珠,外珠够加直接加入加数。

2、外珠不够加类

外珠不够加,就是外珠比加数小,直接加不进加数。这种情况就需要利用补数参与运算。

如:4+7、8+5、9+6、3+8。先分别在算盘上拨被加数靠梁,它们的外珠都比加数小,无法拨入加数,于是就采取“加原数=进1减补数”这一规律来解决。这些加数的变码分别是:

7=10-3,5=10-5,6=10-4,8=10-2。

用这些加数的变码分别换出原式中的加数,其形式变为:

4+7=4+10-3,8+5=8+10-5,9+6=9+10-4,3+8=3+10-2。

在算盘上计算时,先分别拨被加数4、8、9、3入盘,然后,分别拨加数7、5、6、8入盘时,因外珠小于加数,直接加不进加数,只好用十位进1,本位减加数的补数,即“进1减补数”加数入盘,得数分别为:11、13、15、11。

再如:7+7,5+9,6+8,7+6。

这些也是外珠小于加数,直接加不进加数,只好“进1减补数”。变码为7+7=7+10-3,5+9=5+10-1,6+8=6+10-2,7+6=7+10-4。

在算盘上计算时,先分别拨被加数7、5、6、7入盘。先分别用“进1减补数”,拨加数7、9、8、6入盘,其和分别是14、14、14、13。

这四道题的拨珠形式与上面四道题的拨珠形式有所不同,在减补数时,都需要“减5加凑”来减,要反复练习,熟练掌握。凑即凑数,是指若两个一位数的和是5,(只有三对,1与4,2与3,0与5)这两个数互为凑数。如2与3凑成5,2是3的凑数,3也是2的凑数。

利用补数作加法,是先进1后减补数,这样合乎珠算由左而右的拨珠方向,指路不迂回,能提高运算效率。

上述加法运算的法则概括地说就是:同位相加看外珠,外珠够加加加数,外珠不够加进1减补数。

(二)多位数加法

多位数加法是利用补数进行运算,即逐位单独用这一位原数(加数)的补数去合10。如4972的各位补数分别是6、1、3、8(每位补数上下不能联合,是逐位单独动用)。因此,在多位数加法的运算过程中,逐位分别采用如同一位数的“进1减补数”。运算方法仍是“同位相加看外珠,外珠够加加加数,外珠不够加进1减补数。”

如5729+3816=9545

在算盘上先拨被加数5729入盘,再依次拨加数3816入盘,得数为9545。

5、7、2、9同位相加看外珠:

+3,……千位外珠4,加3够加,加3;

+10,……百位外珠2,加8不够加;

-2,……前位进1,本位减补数2;

+1,……十位外珠7,加1够加,加1;

+10,……个位外珠0,加6不够加;

-4,……前位进1,本位减补数4。得数为9545。


二、减法

减法是加法的逆运算。加法的特点是:“补五进一”,减法的特点是“破五退一”。它们在一切方面都是正反关系。

(一)一位数减法

一位数减法,分内珠够减和内珠不够减两类:

1、内珠够减类

如:4-3、5-2、8-6、9-7,在算盘上先分别拨被减数4、5、8、9入盘,再分别在同档拨去减数3、2、6、7,得数分别是1、3、2、2。

它们相减有一个共同特点是:内珠都比减数大,这叫同档相减看内珠,内珠够减直接减去减数。

2、内珠不够减类

内珠不够减,就是内珠比减数小,直接减不掉减数,于是就采取“减原数=退1加补数”这一规律来解决。这些减数的变码分别是:

-7=-10+3,-8=-10+2,-9=-10+1,-6=-10+4。

用这些减数的变码分别换出原式中的减数,变码式为:10-7=10-10+3,12-8=12-10+2,14-9=14-10+1,13-6=13-10+4。

在算盘上先分别拨被减数10、12、14、13入盘,然后拨去减数7、8、9、6时,因同档内珠小于减数,直接减不掉减数,只好用十位退1,本位加减数的补数,即“退1加补数”,拨去减数,得数分别是3、4、5、7。

后二题和前二题拨珠形式有所不同,在加补数时都需用“加5减凑”来加,要反复练习,熟练掌握。

上述减法运算的法则概括地说:同位相减看内珠,内珠够减减减数,内珠不够减退1加补数。


(二)多位数减法

在多位数减法的运算过程中,逐位分别采用如同一位数的“退1加补数”。运算法则仍是“同位相减看内珠,内珠够减减减数,内珠不够减退1加补数”。

如9545-3816=5729,在算盘上先拨被减数9545入盘,再依次拨去减数3816,得数为5729。

9545同位相减看内珠:

-3,……千位内珠9,减3够减,减3;

-10,……百位内珠为5,减8不够,前位退1;

+2,……本位加补数2;

-1,……十位内珠为4,减1够减,减1;

-10,……个位内珠为5,减6不够减,前位退1;

+4,……本位加补数4。


第二节:脑珠结合加减法


脑珠结合加减法,既能增强脑力,又能简化运算程序,减少大量的拨珠动作,提高运算速度。

(一)简捷加法

1、加1减补法

口诀:“前加1,和必余,减补数,定无疑”。(此法适用于位数相同的加法)。

例:3456+9989=13445(减少拨珠6次)

算法:(1)3456前加1,得13456;

(2)13456减去9989的补数0011,得13445。

2、加齐减补法

口诀:“齐先加,和必大,减补数,不会差”。(此法适用于多位数字相加)

例:19002+998=20000(减少拨珠5次)

算法:(1)19002先加998的齐数1000得20002;

(2)20002减去补数002得20000。

3、取强减填法

口诀:“先凑强,后减填”(此法适用于首位数字大于1的加数)。

例:884+896=1780(少拨珠3次)

算法:(1)取896的强数900加上884,得1784;

(2)1784减去896的填数4,得1780。

4、一目三行连加弃九法

先研究一目三行加法的进位规律。三行数字相加的进位规律有三种情况:一是有进2的,如6+8+9=23;二是有进1的,如5+3+7=15;三是有不进位的,如2+1+4=7。据研究得出,三行数字组合有165种,其中111种是进1的(占总数的67%),有31种是进2的,有23种是不进位的。所以三行数字组合进1的可能性最大。为了省略各位上的和进1,减少拨珠量,我们可以利用补数原理,作一次性的进一,即先在首位加1个10的整数次幂,然后,再用中间各位减去9,末位减去10的方法。如三行六位数相加,首位加1,即增加100000,中间各位都减9,即减少了99990,末位减10,即增减相抵,正好轧平,原来的和不变。

为了将竖列三个同位数之和计算方便一些,可假设有竖列三个同位数之和都进位一。这样就得出“首位进1”的普遍规律。若某竖列三个同位数之和大于或小于10,可分别通过加减来调整。

计算中间各位时,因已提前进位一,本应先减去10,然后,再加上大于10的数,但后边的各位还要进位一,所以中间各位减去9,就等于减去10,这样就得出“中间各位减去9”的结论。若中间各位和大于或小于9,也通过加减来调整。

计算末位时,因提前进位一,后边不再进位,应从末位和中减去10,余几加几。

根据上述推理,得出弃九法的运算方法是:

1、计算首位时,三个数字相加之和再加1,就是提前进位1。如和数是6拨入7,和数是14就拨入15,和数是23就拨入24。

2、计算中间各位时,三个数字相加之和等于或大于9的,将9弃去,只加和数弃9后的余数。如和数是14就加5,和数是23就加14,若三个数字之和小于9的,则减去它与9的差数。如和数是6就减3。在实际运算时,中间各位的同位三个数中有一个是9或两个之和是9,可以把这个9舍去,余几就在本位上加几。如同位三个数8、9、6,可直接加上14;4、5、7可直接加上7。

3、在计算末位时,三个数相加之和等于或大于10的,将10弃去,只加弃10后的余数。如和数是13即加3,和数是24即加14,若三个数字相加之和小于 10的,则减它与10的差额。如和数是7即减3。

把上述弃九法的运算法则概括地说就是:首和进1拨入,中和弃九加余,末和弃十加余,欠弃拨去差数。

例如:1259.63

615.49

2940.13

850.14

304.70

+613.03

------------------

6583.12

在算盘上计算形式:

1259.63

615.49

+2940.13

-------------------------

+4…………首位(千位)和是3,后位进1,加4;

+8………百位弃九余8,加8;

+1…………十位弃九余1,加1;

+5…………个位数弃九余5,加5;

+2…………十分位弃九余2,加2;

+5…………末位(百分位)弃十余5,加5。三行之和为4815.25。


850.14

304.70

613.03

-----------------------

+18…………首位和是17,后位进1,加18;

-3…………十位欠弃九,减差数3;

-2…………个位欠充九,减差数2;

-1…………十分位欠弃九,减差数1;

-3…………末位欠弃十,减差数3,累加和为6583.12。

上述弃九法也适应于一目二行连加。

一目四行、五行连加,用“弃双九法”。其运算法则可概括为:首和进二拨入,中弃双九加余,末弃双十加余,欠弃拨去差数。举例略。

(二)简捷减法

1、减齐加补法

口诀“齐先减,差必短。补再加,理当然”。

例:3832-994=2838(少拨4次)

算法:(1)3832先减去1000得2832;

(2)2832加上994的补数006,得2838。

2、倒减变向法

口诀:“小减大不难,空借首位前。借那要还那,随借要随还。借债没还清,补数变答案。如还清所借,梁珠为答案。”(此法适用于加减算法中,开始或中途发生减数小于被减数的混合运算)。

例:9998-19999+10011+1638-8879-1658+1889=3000

(1)9998-19999=-10001(十万位借1,-20000加上1,借债没还补数变答案,梁珠为89999);

(2)+10011=10(借债还清,梁珠为答案);

(3)+1638=1648;

(4)-8879=-7231(万位借1,-9000加121,补数变答案,梁珠为2769);

(5)-1658=-8889(同上);

(6)+11889=3000(万位借1还清,梁珠为答案)。

上述六笔混合运算的倒减法,减少了4次清盘和4次重新布数,提高了效率一倍。

3、一目三行连减弃九法

减法是加法的逆运算。一目三行也可以应用弃九法,只要三行合并后将加改作减或减改作加就行。

其运算法则可概括为:首和进一拨去,中和弃九减余,欠弃拨入差数。

如:4 9 1 3 5

-3 4 7 2

-9 5 0 6

-6 3 9 4

-2 1 6 0

-1 4 0 3

-4 2 3 5

--------------

2 1 9 6 5

在盘上计算形式,拨被减数49135入盘。

-3 4 7 2

-9 5 0 6 第一组(够弃减余)

-6 3 9 4

--------------

-19…………首位和18,后位进1,减去19;

-3…………百位弃九余3,减去3;

-7…………十位弃九余7,减去7;

-2…………末位弃十余2,减去2。得数为29763。


-2 1 6 0

-1 4 0 3 第二组(欠弃加差)

-4 2 3 5

------------

-8…………首位和7,后位进1减去8;

+2…………百位弃九欠2,加差数2;

0…………十位弃九,为0;

+2…………末位弃十欠2,加差数2。得数为21965。


第三章:补数乘法


一、运算原理

我们用9作乘数,研究以下1~9乘以9的内在关系。9的补数是1,齐数是10。

1×9=1×(10-1)=10-1×1,1作被乘数可看作减乘数补数1倍;

2×9=2×(10-1)=20-2×1,2作被乘数可看作减乘数补数2倍;

3×9=3×(10-1)=30-3×1,3作被乘数可看作减乘数补数3倍;

4×9=4×(10-1)=40-4×1,4作被乘数可看作减乘数补数4倍;

5×9=5×(10-1)=50-5×1,5作被乘数可看作减乘数补数5倍;

6×9=6×(10-1)=60-6×1,6作被乘数可看作减乘数补数6倍;

7×9=7×(10-1)=70-7×1,7作被乘数可看作减乘数补数7倍;

8×9=8×(10-1)=80-8×1,8作被乘数可看作减乘数补数8倍;

9×9=9×(10-1)=90-9×1,9作被乘数可看作减乘数补数9倍。


二、基本算规

(一)口诀法

从上一小节中,我们看出,被乘数1、2、3、4、5、6、7、8、9的运算规律,列表如下,作为口诀(注:学“一口清法”的人,应用此口诀法)。

表1:

小数组 中数组 大数组

1 由下位减乘数补数的1倍 4 由下位减乘数补数的4倍 7 由下位减乘数补数的7倍

2 由下位减乘数补数的2倍 5 由下位减乘数补数的5倍 8 由下位减乘数补数的8倍

3 由下位减乘数补数的3倍 6 由下位减乘数补数的6倍 9 由下位减乘数补数的9倍

假若会“1、2、5法”口算的人,可运用1、2、5加几遍;4、5、6折半看,7、8、9当十算的人,可采用下表,进行计算:

表2:

小数组 中数组 大数组

1 由下位减乘数补数1次 4 本位减补数半数

下位加补数一次 7 本位减补数一次

下位加补数三次

2 由下位减乘数补数2次 5 本位减补数一半 8 本位减补数一次

下位加补数二次

3 由下位减乘数补数3次 6 本位减补数一半

下位减补数一次 9 本位减补数一次

下位加补数一次

以上9个算规,由下列例题详解(本教材中口诀用表1法。)

例1:123×889=109347(补数111)

图一:

111 123

直拨乘数补数111在算盘左边,被乘数123在右边

图二:

111 122667

个位3,在下位减3×111成为12.2667

图三:

111 120447

十位2,在下位减2×111成为1.20447

图四:

111 109347

百位1,在下位减1×111成为109347,即为积

例2:456×889=405384

图一:

111 456

直拨乘数补数111在左边,456在右边

图二:

111 455334

个位6在下位减6×111成为45.5334

图三:

111 448784

十位5,在下位减5×111成为4.48784

图四:

111 405384

百位4,在下位减4×111成为405384即积

例3:789×889=701421

图一:

111 789

直拨乘数补数111在算盘左边,被乘数789在右边

图二:

111 788001

个位9,下位减去9×111成为78.8001

图三:

111 779121

十位8,下位减去8×111成为7.79121

图四:

111 701421

百位7,下位减去7×111成为701421

注:1,图式可改成珠算图式;

2,凡被乘数乘以乘数的补数,无进位从被乘数本位的下位减,有进位从本位减。

以上是补数算法中算规的基本方法——口诀法,用此方法可以算对任何题,我把它称作补数算法的第1种方法。

(二)逐位减补数法

逐位减补数法是否正确,下面我们用例题来加以证明:

例:789×889=789×(1000-111)=789000-789×111

即789000-789×111(减9×111,即减999;减80×111,即减8880;减700×111即减77700)可看作在789000中减去999,再减8880,再减77700,得数即701421。这和我们在盘式中(个位9,下位减999,十位8,下位减888,百位7,下位减777)得数完全一致,证明此口诀法准确无误。然而,虽无误,亦有缺陷,对于一般例题,可用此法,但对于特殊例题:如99999×99999,1998×778,27×964等,还有没有更快更完善的方法呢?答案是肯定的,从以下几节中,我们再共同探讨快速法。

首先,再从以上例题中,往下演变,引申出两种补数方法:加补减齐法和加填减强法。

例1:789000-789×111=789000-(1000-211)×111=789000-1000×111+211×111=789000+211×111-111000,即789000+211×111(在盘式上9的下位加1×111,8的下位加1×111,7的下位加2×111)后再在首位减111000得数=701421,得数也是正确的,即加补减齐法。

例2:789000-789×111=789000-(800-11)×111=789000-88800+11×111=789000+11×111(9的下位加1×111,8的下位加1×111,7的下位减<7+1>×111,即-88800)=701421,得数也是正确的,即加填减强法。

从而得出逐位减补数法中的加补减齐法和加填减强法,应用到乘法例题中,都是适用的,用那种方法参与运算要由具体数据来定,总之要做到化繁为简,达到“快”和“准”的目的,不要适得其反,这是我们科学速算的原则。

(三)一般公式法

前面提到,如:27×964、1998×778、999992应怎样计算,才会更为快捷、方便。

根据以上原理,笔者研究出补数乘法的一般公式法,暂定为魏氏公式法:

(1)设被乘数的最末一位数的补数为a,乘数的补数为b,那么在被乘数的末位的下位加a×b(a×b有进位者,要进到本位);

(2)设被乘数去掉尾数后的数为n,那么应从被乘数首位的下位减去(n+1)×b。注意(n+1)×b有进位,从首位减,b前有0位,有几个零应移档向后几位再减,就是:先从尾后加a×b,再在次档减(n+1)×b,这就是补数乘法的一般公式法。

利用此公式可以解决以下类别的数乘以任意数的快速计算问题:

1、被乘数是两位数的例题;

2、被乘数是两位以上的数时,n+1等于齐数或强数的例题。

如:例1:27×964=26028(补数036)

(1)先在被乘数个位7的下位加上(a×b),即3×036=108,得27.108;

(2)再从被乘数的次高档7的本位减去(n+1)×b,即(2+1)×036,得26028,即是积数。

例2:19998×778=15558444(补数222)

(1)先在被乘数个位8的下位加上(a×b)即2×222,得19998.444;

(2)再从被乘数的次高档减去(n+1)×b即(1999+1)×222,得15558444,即得积。

注:实际上,(n+1)×b比原数少了10倍,把(n+1)再扩大10倍后,就是实际需要减的数。如例2:第1步尾下加上444后,可看作19998444;达到千万位;(1999+1)×222×10=4440000,达到百万位;从19998444中减去4440000=15558444。

以上2例为加填减强法。

例3:999992=9999800001(补数为00001)

(1) 先在99999的尾数后加00001,得99999.00001;

(2) 再在99999的首位减00001;得9999800001;即积。

因(n+1)×b有进位,所以从首位减。本例为加补减齐法。利用此一般公式,可以套用任何一道乘法算题,本公式都是正确的。但我们可以从中看出,对于(n+1)等于齐数或强数的例题,实在是简单而又简单,但对于一般的例题,它并不完全显示优越性,实在是一般公式,却适用于特殊情况。那么,在一般情况下呢?

(四)、补满法

补满法就是把被乘数联成一个整体,被乘数的个位按(10-x)补加补数,中间几位一律按(9-x)补加补数,差几就补几个补数。补到首位时,首位数是x,就从次高位减去(x+1)×b的乘积,分两种情况,如下例:

1、加补减齐法

例1:9897965×778=7700616770。(补数222)

(1) 被乘数个位5加补数半数222的一半111成为:989796.611;

(2) 十位6在6的下位加三次补数666成为98979.7277;

(3) 百位9不补;

(4) 千位7下位加两次补数444,成为989.841677;

(5) 万位9不补;

(6) 十万位8下位加一次补数222成为9.92061677;

(7) 百万位9不补;

(8) 从百万位减一次补数222得积:7700616770。

2、加填减强法:

例2:789×789=622521(补数211)

(1) 个位9在下位加上(10-9)×211成为78.9211;

(2) 十位8,在下位加上(9-8)×211成为7.91321;

(3) 百位7,在7的本位减去(7+1)×211=1688(有进位,从本位减)成为622521,即积。

以上介绍的三种方法:口诀法、公式法、补满法都是通用的,套任何一道算题,得数都是一样,归纳起来,也只有两类:

口诀法:即逐位减补数法,从个位到首位逐位减去;

公式法:即补满法,先补后减法,从个位按10补满,中间按9补满,补完后,从首位(x+1)×b,一次性减去多加的数即得积。

用那种方法好呢?这个要灵活掌握,非靠多算多练,方能熟能生巧,做到举一反三、触类旁通。一道例题中,有时用一种,有时用两种,有时也可用三种方法。

例如:

分节运算法:

例1:8979021×668=5997986028(补数332)

(1) 被乘数个位1,下减一次补数332,成为897902.0668;

(2) 被乘数十位2,下减二次补数664,成为89790.14028;

(3) 百位“0”不动;

(4) 被乘数千位9下位加一次补数332,成为897.9346028;

(5) 被乘数万位7下位加二次补数664,成为85986028;

(6) 被乘数十万位9不动;

(7) 被乘数百万位8下位加补数一次332,成为9317986028;

(8) 再从首位减去一次补数为积数5997986028;

例2:12100998×88=1064887824(补数12)

(1) 个位8,下位加补数二次24(加a×b)减(n+1)×b从百位减去(99+1)×12。这是998这一节。成为1210087824;

(2) 千位、万位零不动;

(3) 十万、百万、千万按口诀法规运算即:

a、十万位下位减补数一次成为12088887824 ;

b、百万位下位减补数两次成为1184887824;

c、千万位下位减补数一次得积1064887824。

例3:9995=995009990004999

999×999=998001

1、乘法个位9的下位加001,成为999.001(公式法);

2、乘数首位9的本位减001,成为998001。

998001×999=997002999

1、在1的下位减去001,成为998.00999(口诀法);

2、十位、百位零不动;

3、千位8,在下位加002,成为998.02999(公式法);

4、从首位9减去001,成为997002999(公式法)。

997002999×999=996005996001

1、被乘数个位9的下位加001,成为997002999.001(公式法);

2、从被乘数千位2的下位减003,成为99700.2996001(公式法);

3、万位,十万位零不动;

4、从百万位7的下位加003,成为997.005996001(公式法);

5、从首位9减去001,成为996005996001(公式法);

996005996001×999=995009990004999

1、从1的下位减去001,成为996005996000.999(公式法);

2、十位、百位零不动;

3、千位6,下位加004,成为996005996004999(补满法);

4、百万位5,下位减006,成为996005.990004999(补满法);

5、千万位、亿位零不动;

6、十亿位6,下加004,成为996009990004999(公式法);

7、从首位减001,成为995009990004999(公式法)。


三、“1、2、5”一位数乘法在补数乘法中运用

在实际运算中,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数字是以各种形式出现的,会出现各种形式的算式,比如:168752这种算式,用补数算法应用补满法中加填减强法进行运算,这就出现了补加补数5、2、1、3后减2倍补数的形式,而乘数的补数较为复杂(83125),这就要求我们掌握一种新的方法:一位数乘多位数的方法,“1、2、5”法对于初学者则是一种既简便又好学的方法。以下简单介绍之:

(1)“1”的运算方法,用“1”去乘任何一个数,其值不变;

(2)“2”的运算方法,“2”就是要求计算者,能一眼看出任意一个数的2倍是多少。

其口诀是:掌握二倍并不难,算盘横梁分界线;

首位有5暗记1,左下右上斜着看;

梁上没珠加倍算,连续积数一次完。

例:567895×2=1135790

按照以上口诀方法,把以上数即可分解为:05、05、15、25、35、45六次。

为了加快看数的速度,看2倍5的时候,不要看作10,而应作为1;看2倍15的时候……;看2倍45的时候,不要看作90,而应作为9。在熟记这5个数组的2倍是多少之后,只要看到算盘横梁上面有数,在算盘上采用巧妙的斜看方法,就能很快算出一个多位数的二倍积数。如上例,看的方法:

1、斜看高位上珠5,念为“1”;

2、斜看次高位上珠5,念为“1”;

3、第二位下珠1与第三位上珠5,斜看念“3”;

4、第三位下珠2与第四位上珠5,斜看念“5”;

5、第四位下珠3与第五位上珠5,斜看念“7”;

6、第五位下珠4与第六位上珠5,斜看念“9”,连续读即:1135790。

斜看任何一个数2倍的规律是:1念2,2念4,3念6,4念8,5念1,15念3,25念5,35念7,45念9,“0” 念为0。每个数和大于5能分解的数,各增大1倍,连续起来念,就是一个数的二倍数。

(3)“5”的运算方法:(5=10÷2)

口诀是:掌握5倍是关键,一个数组折半看。

一次最好看两位,先看双数后看单。

单数挤到最后看,牢记1、5、15数一半。

这就是看5倍的方法。这里,首先要熟记1、5、15这三个数字的一半是多少(在算盘上看时,扩大5倍和缩小2倍,有效数字是一致的)。1的一半是0.5可念5;5的一半是2.5,可念25;15的一半是7.5;可念75。

例:123456789×5=617283945

1、把被乘数的前两位12分为一个组,它的一半是6;

2、把被乘数的三、四位34分为一个组,它的一半是17;

3、把被乘数的五、六位56分为一个组,它的一半是28;

4、把被乘数的七、八位78分为一个组,它的一半是39;

5、把乘数的最后位9,直接看它的一半是4.5,即45。

最后把各组的一半数,连续起来,就是要求的5倍数,即617283945。掌握了上述“1、2、5”法的方法后,对于3、4、6、7、8、9等数字的组成,都是以1、2、5为基础的。

如:3=1+2,4=2+2,6=1+5,7=2+5,8=10-2,

9=10-1。

知道了一个数的1、2、5倍是多少了,也就可以知道它的3、4、6、7、8、9倍是多少了。

例:16875×16875=284765625

(1) 个位5,在本位加(5×83125)415625成为1687.915625;

(2) 十位7,在本位加(2×83125)16625成为169.957815;

(3) 百位8,在下位加(1×83125)83125成为16.97890625;

(4) 千位6,在本位加(2×83125)16625,下位加(1×83125)83125成为1.947265625;

(5) 万位1,在本位减(2×83125)16625,成为284765625,即积。


四、什么情况下,不用补数

科学速算的目的是化繁为简,而绝不能变简为繁。在被乘数和乘数的各位都比较小的情况下,不要勉强用补数。如下例:12123×32321、2002×3003等,此类题用空盘前乘法即可。


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