——兼与王金中先生商榷

作者：江苏省常州市金坛区市场监督管理局 杨晓清

关键词：海昏侯墓 平面算板 色珠算板 游珠算板《数术记遗》九宫算

近读王金中先生著《游珠算板：海昏侯墓惊现古代算盘的雏形》一文[1],文中记载：在海昏侯墓出土的器物中，有一件奇特的石板十分引人注目。这件石板出土于娱乐用具库，呈灰白色，由于埋藏历史久远，石面出现钙化现象，但仍可判断当初是用上等的石料做成。石面平整，有刻画出来的纵横交错的直线，形成一排一排的方格。石板两角残缺严重，横向最长处约为20厘米，不到汉代的一尺；纵向最长处约为6厘米，不到汉代的三寸。细数石板上有横线5道，纵线15道（图1）。

  王先生认为，该方格石板不是围棋盘的一部分，而是一方古代的游珠算板。理由有三：其一，汉代没有5×15道的围棋盘。其二,即便有5×15道的围棋盘,那失去的部分应当为横10道，纵15道。也就是说，失去的占三分之二，残存的只占三分之一，失去的部分大于残存的部分。常识告诉人们，石质的器物相对于草编器、纺织品、木质器、竹制品甚至铁制品在泥土中更耐腐蚀，失去的那部分围棋盘一般不会完全腐烂掉，毫无踪迹可寻。即使全部破碎，也会被明察纤毫的考古人员发现端倪。然而至今也未看到有关围棋盘剩余部分的发掘报告。这就证明，出土的这个方格石板本身就是横5道、纵15道，保存基本完整，缺少的只是两个边角。其三, 考古发掘未见围棋子。从史籍中对算板的描述来看，海昏侯墓的这块方格石板与古代的算板非常一致,从而认为这是一件古代的算板。并将一并出土的黑漆红纹漆耳杯和在海昏侯墓主棺椁中发现的13粒白玉珠、32粒玛瑙珠,共计45颗玉珠,认定为盛具和算珠。还根据徐岳在《数术记遗》中的描述，按照海昏侯墓出土的方格石板的样式，绘制出古代游珠算板的示意图（图2）及计算方法（图3 ）。

图2：

图3：1736+429=2165 示意图

以上观点,对笔者启发颇大。但有一些不同的想法冒昧地提出来与各位老师、专家和同道商讨。不当之处请批评指正。

一、 方格石板并非《数术记遗》中的游珠算板

这块方格石板仅从图片上看,确实残存不多。但是不能就此认定为只有横线5道，纵线15道。首先,因为能够完整看出的仅仅只有一条边,其余三条边均已经残缺,无法判定究竟哪里是边线。也许是5×15,也可能是15×15；16×16；17×17；19×19等等。其次,认为失去的那部分石板“一般不会完全腐烂掉，毫无踪迹可寻”也是不能确定的。因为石板在地下两千多年,长期被腐蚀风化是一个缓慢的渐变过程,也许早几百年发掘就比较完整,再晚几百年发掘则可能只剩下一条石边,甚至肉眼看去踪迹皆无也未可知。既然能够腐蚀掉两个边角,也就有可能腐蚀掉大部分,失去的部分大于残存的部分的可能性完全存在。不知考古人员能否根据残留物在这方面作出鉴定。如能作出，则谜底可解,再无争议。目前笔者更倾向于是一个方形的石板，而且并非是《数术记遗》中的游珠算板。其理由如下：

如果这个石板是方形的,那么它不但和围棋盘相似,而且和《数术记遗》中的“九宫算”早期算具也非常相似。“九宫算”是一种以九宫图为基础而进行的计算方法,其运算就是在算板上进行的。最早为平面算板，主要用于推算奇数阶幻方,先是3阶,而后5阶、7阶、9阶……。探索越深,阶数越高,数字就越大，算具也随之适应变化,改进。我国古代著名数学家杨辉在1275年所著《续古摘奇算法》一书中,用“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”的方法,构成了３－１０阶幻方，这其中既有奇数阶的,也有偶数阶的。被认为是历史上系统地对幻方进行研究的第一人。

“九宫算”法奇数阶和偶数阶在算板上的刻（画）线数是不一样的,因为算子是放在格子中,算奇数时线条是双数, 算偶数时线条是单数。如3阶幻方是4×4条线边框线, 9阶幻方是10×10条线, 4阶幻方是5×5条线, 8阶幻方是9×9条线。当然,当算板足够大时,在其包含范围内的奇数、偶数阶幻方自然也都是可以计算的。因此,方格石板的刻线奇数、偶数皆有可能。而围棋则不一样,因为棋子是放在交叉点上,而且有一个中心点,所以线条只能是单数。因此,这块方格石板作为算板或围棋盘的可能性均存在。

如果将“九宫算”算具与围棋相比较,我们可以发现它们有非常多的相似之处。同是刻（画）线为盘,用不同颜色的算（棋）子,所不同的是算子是用来计算的,棋子是用来对弈的。当有需要时算板可以作棋盘,算子可以作棋子；反之棋盘可以作算板,棋子亦可作算子。我国著名数学家钱宝琮先生也曾说过古人在筹算时“用一个特制的和围棋盘相仿的算盘”[2]。本人认为,围棋也有可能就是“九宫算”法的副产品。人类社会本来就是在不断地探索和实践中发展前进的。在枯燥、烦杂、冗长的计算之余,利用手边的现成工具,玩起黑白子（也许不一定是黑白两色）对围的游戏,刚开始是数子对围,后来是数十子对围,最后来到数百子对弈。棋盘也在游戏中渐渐变大,从5×5,7×7,……17×17,终于到了现代的19×19。在漫漫的历史长河中,算板和围棋相生相伴,相依相存,在某一个历史的三岔路口,它们彼此分手,朝着各自不同的发展方向渐行渐远。普通算板发展出游珠算板,进而诞生了电子计算机出现前人类历史上最伟大的算具--算盘。算板终于完成了它的历史使命,得到了光辉的传承。而围棋则在历史的博弈中不断发展、完善,流传至今,成为当代一项人们喜爱的体育竞技项目。以上只是本人在研究中的一点推论, 可供参考的历史资料还是偏少,见仁见智,还需和各位老师、专家和同道一起努力探索求证。

综上所述,笔者认为,这块方格石板作为算板或者围棋盘的可能性皆存在,而白玉和玛瑙也不能仅因为数量多少而认定为算子或棋子。而且从图片上看,白玉珠尚属均匀,而玛瑙则大小形状各异,差别较大。以海昏候刘贺之身份地位,如果将其作为算珠,至少应比较均匀才好理解。另外也有一种可能,墓中的漆耳杯中曾经放有算子或棋子,抑或是算筹也有可能。只是因为材质的原因,在数千年中被腐蚀风化了,未能象白玉和玛瑙那样保存下来。如果是木质或竹制算筹的话,则必然无法留存了。而且从图片上看,此漆耳杯紧挨方格石板摆放,既然是盛具,想必算子、棋子或算筹必然也会存放在内的吧,只不知能否通过漆耳杯的内容物查出一点蛛丝马迹。似乎还当进一步查寻证据,不可贸然下结论。

二、游珠算板是一种带有刻槽的算具

王金中先生依据东汉时期著名数学家、天文学家徐岳所著中国古算书《数术记遗》中：“珠算控带四时，经纬三才。”以及北周甄鸾注释“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位，位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一。至下四珠所领，故云‘控带四时’。其珠游于三方之中，故云‘经纬三才’也。”的描述，认为海昏侯墓中出土的这块方格石板是一块古代的“游珠算板”,并绘制出了示意图及计算方法。对这一观点,笔者也有不同的看法。

一是这块方格算板只是一块普通的平面算板。海昏侯墓中出土的这块方格石板,如果是算板的话,只是一块普通算板,也即早期算板,而不是《数术记遗》中描述的游珠算板。这种平面的,可以画在布上,也可以刻画在木板和石板上,还可以画在地上。可以用算筹计算,也可以用算子计算。如果是一般平民使用,甚至可以用种子、果实如黄豆、玉米、花生之类（仅作举例）来作为算子使用。此算板的大小,格子的多少,和算数的大小、算子（筹）的长短、粗细、大小有非常大的关系。以算筹为例：太多、太长或算板格子太小会使数字拥挤在一起,看不清或出错；算子也是如此。需要计算的数字太大,算子和算筹因摆放不下,无法表达也是不行。只有适当的算板和适当的算子（筹）结合,才能计算适当的数字。还有一点要说明的是,古人在用“九宫算”时,数字是放在格子中间的,而不是放在线上的。这也和王先生的示意图有一定的出入。

二是游珠算板出现前还有一种色珠算板作为过渡。随着古人计算需求的扩大和计算能力的不断增强,简单算筹和算子已经无法满足大数的表达。就以海昏侯墓中出土的这块方格石板来说,长大约20厘米,有刻线15条, 宽大约6厘米,刻线有5条。相当于每个格子为1.5×1.5厘米大小。要在一个格子里表达一个千以上,甚至万以上的数字,算板和算子显然难以满足。必须要对算具进行改进,尽可能地扩大算板的容纳量,尽可能地增加算子对数字的代表性。

《数术记遗》有一段这样记载：“九宫算：五行参数，犹如循环。” 甄鸾注称：“九宫者，即二、四为肩，六、八为足，左三、右七，戴九履一，五居中央。五行参数者，设位之法依五行，已注于上是也。”“注于上：……此等诸法，随须更位，唯有九宫，守一不移。位依行色，并应无穷。……言位依行色者，一位第一用玄珠，十位第二用赤珠，百位第三用青珠，千位第四用白珠，万位第五用黄珠，十万位以赤线系黄珠，百万位以青线系黄珠，千万位以白线系黄珠，万万位曰亿，以黄线系黄珠，自余诸位唯兼之，故曰并应无穷也。”

首先是算板上的变化。虽然还是平面算板,但是把原来的一个数字集中放一格,改进为把一个数字的每一位数分放在不同的格子内。即把原来的每一格,从右至左分为9份。分别为个（一）位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位和亿位。用来摆放算珠,代表数字。当然,如果算不到那么大的数,也可以不必分那么多位,既然《数术记遗》上明确提到亿这个数，那必然会分出9格。

其次是算珠的变化,用色珠和色线的不同搭配来表达各种不同的数字。计算时只要把一些不同颜色的珠子放在某一格中，一眼就可以看出它们代表的数字（图4）。

图4：

例如：要摆出123这个数，就在百位放一粒青珠，十位放二粒赤珠，个位放三粒玄珠（图5）。要摆出987654321这个数，就在亿位放9粒黄线系黄珠，千万位放8粒白线系黄珠，百万位放7粒青线系黄珠，十万位放6粒赤线系黄珠，万位放5粒黄珠，千位放4粒白珠，百位放3粒青珠，十位放2粒赤珠，个位放1粒玄珠，（图6）。在这里要谈一下“0”（零）这个概念，在九宫图中只有1—9，并不涉及0。而九宫算法里，要进行更大数字的运算，必然用到0，而给珠子定位之后，0的表述也迎刃而解。例如：要摆出20170520这个数字，就在千万位放2粒白线系黄珠，十万位放1粒赤线系黄珠，万位放7粒黄珠,百位放5粒青珠，十位放2粒赤珠。由于算板上也作了定位,百万位、千位和个位上显然是空着的,更加可以一目了然了（图7）。

图5：

图6：

图7：

从中我们也可以看出，当时的珠子是有孔的，因为用色线系色珠只能从孔中穿过去才好系，否则珠子是圆的,很容易滑脱。这个孔具有十分重要的意义,它是后来算盘诞生的必不可少的一环！

这种改进的最直接的推动力就是来源于对大数计算的需要。这种改进带来的缺陷在于,在算子大小不变的条件下,算板的面积将大大增加。继续改进势在必行。

三是游珠算板是一种带有刻槽的立体算板。在计算实践过程中,古人又发现当数字很大时,多种珠子混放在平面算板上还会有缺陷。一是未系色线的算珠在平板上容易滚动，特别是当这个平板要移动位置时更是如此；二是多种颜色的珠子系上色线后体积增大,不利于计算；三是平板上刻（画）线形成的方格,当算珠多时,界限不清,混在一起，容易把数字混淆。四是这种色珠算板的功能有重复之处,既然已经在算板上定了个十百千万……位,又用色珠和色线来重复表示,这就完全有可以改进之处（当然,单独用色珠系色线来表达数字,作为计数方法的重大突破，本身也是一项伟大的创造）。这样带有刻槽的立体游珠算板便应运而生了。这种游珠算板最大的优点在于,它能够简单清晰地表达各种大小数字,使数字便于拿取，计算更加便捷,防止算珠的滚动，而且使每个数字有效隔离而不至混淆。算板功能由简单转向复杂。

对于《数术记遗》记载：“珠算控带四时，经纬三才。”甄鸾注云：“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位，位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一。至下四珠所领，故云‘控带四时’。其珠游于三方之中，故云‘经纬三才’也。”这段文字,笔者是这样理解的：

在上述平面色珠算板的基础上,把每一格中9个用来摆放算珠的区域,皆刻成凹槽形,每一个凹槽均分为上、中、下三份,即“刻板为三分”（图8）。

图8：

这里分别用了“游珠”和“停”的词，我感觉非常形象、生动。“游珠”是表示珠子容易滚动，也表示在计算中要随时移动、使用；“停”表示稳妥地安放,这也是我认为这里的“刻板”不是一般的刻线,而是刻槽的原因。这样就形成了一个能够表达“亿”以下任何数字的运算格了。假设以1白珠作5,以1黑珠作1。则上边9格,每格各放1颗白珠；下边9格, 每格各放4颗黑珠；中间9格为空白,在运算时依照数字把上、下格的算珠放入在内,即为“定算位”也（图9）。

图9：

如：123（图10），20170529（图11），987654321（图12）。

图10：

图11：

图12：

显然游珠算板的初衷并不是用来做加减计算的。它是“九宫算”时用来方便数字定位,加快运算速度的。

当杨辉创造发明“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”的“九宫算”运算方法时,要求每个运算的数字不断地变化排列,移形换位时,这种整体化的游珠算板便又不适应了。于是, 游珠算板被一块块分解独立了出来。需要某一个数字,就把这个独立的游珠算板数字摆放过去。频繁的运算移动使得游珠算板也落伍了,毕竟“游珠”在搬运过程中,一不小心也会滚落下来。于是将游珠通过珠孔串在一起,并固定在算板刻槽内,“串珠算板”出现了……。随着不断地实践改进,算盘诞生了[3]。

结语：笔者认为,海昏侯墓出土的这块方格石板,仅凭目前的资料,尚不能确定究竟是算板还是围棋盘。即使是算板,那也只是一块普通的平面算板,而不是游珠算板。若需定论,还待考古工作者提供更多的佐证资料和研究成果。

［参考文献］

[1] 王金中 游珠算板：海昏侯墓惊现古代算盘的雏形 光明网 2017-04-19

[2] 钱宝琮 中国数学史话 中国青年出版社 1957年12月

   [3]  杨晓清　算盘起源于“九宫算”之演变探讨［J］ 珠算与珠心算，2013, （3）：46-52

作者 ：江苏省常州市金坛区市场监督管理局　杨晓清

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２０１７年5月19日